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高三数学不等式、推理与证明测试

[01-02 16:35:28]   来源:http://www.51jxk.com  高三数学   阅读:8139

概要:高三数学章末综合测试题(11)不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的)1.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是()A.若a>b,则ac2>bc2 B.若ac>bc,则a>bC.若a3>b3且ab<0,则1a>1b D.若a2>b2且ab>0,则1a<1b解析C当c=0时,可知选项A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以1a>1b成立;当a<0且b<0时,可知D不正确.2.若集合A={x||x-2|≤3,x∈R},B={y|y=1-x2,x∈R},则A∩B=()A.[0,1] B.[0,+∞)C.[-1,1] D.∅解析C由|x-2|≤3,得-1≤x≤5,即A={x|-1≤x≤5};B={y|y≤1}.故A∩B=[-1,1].

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高三数学章末综合测试题(11)不等式、推理与证明

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的)

1.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是(  )

A.若a>b,则ac2>bc2 B.若ac>bc,则a>b

C.若a3>b3且ab<0,则1a>1b D.若a2>b2且ab>0,则1a<1b

解析 C 当c=0时,可知选项A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以1a>1b成立;当a<0且b<0时,可知D不正确.

2.若集合A={x||x-2|≤3,x∈R},B={y|y=1-x2,x∈R},则A∩B=(  )

A.[0,1] B.[0,+∞)

C.[-1,1] D.∅

解析 C 由|x-2|≤3,得-1≤x≤5,即A={x|-1≤x≤5};B={y|y≤1}.故A∩B=[-1,1].

3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为(  )

A.1 B.1+2

C.1+2+22 D.1+2+22+23

解析 D 当n=1时,左边=1+2+22+23.

4.已知x,y,z∈R+,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是(  )

A.1 B.2

C.3 D.4

解析 B ∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(x+y+z)+xz=y×1xyz+xz=1xz+xz≥21xz•xz=2,当且仅当xz=1,y(x+y+z)=1时,取“=”,

∴(x+y)(y+z)min=2.

5.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(  )

A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a4+b42≤0

C.a+b22-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0

解析 D 因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.

6.对于平面α和共面的直线m、n,下列命题为真命题的是(  )

A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n

C.若m⊂α,n∥α,则m∥n D.若m、n与α所成的角相等,则m∥n

解析 C 对于平面α和共面的直线m,n,真命题是“若m⊂α,n∥α,则m∥n”.

7.若不等式2x2+2kx+k4x2+6x+3<1对于一切实数都成立,则k的取值范围是(  )

A. (-∞,+∞) B. (1,3)

C. (-∞,3) D. (-∞,1)∪(3,+∞)

解析 B ∵4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+34≥34,

∴不等式等价于2x2+2kx+k<4x2+6x+3,

即2x2+(6-2k)x+3-k>0对任意的x 恒成立,

∴Δ=(6-2k)2-8(3-k)<0,∴1

8.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是(  )

A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0

C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0

解析 C ∵f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,

∴由f(m)<0,得-10,∴f(m+1)>f(0)>0.

9.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是(  )

A.2 B.22

C.4 D.5

解析 C ∵a>0,b>0, ∴1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥4,

当且仅当a=b=1时取等号,∴1a+1b+2abmin=4.

10.使不等式log2x(5x-1)>0成立的一个必要不充分条件是(  )

A.x>12 B.1512

C.1512

解析 D log2x(5x-1)>0⇔

5x-1>0,2x>1,5x-1>1或5x-1>0,0<2x<1,5x-1<1⇔x>15,x>12,x>25或x>15,0

∴x>12或1512或1512 或0

11.假设f(x)=x2-4x+3,若实数x、y满足条件f(y)≤f(x)≤0,则点(x,y)所构成的区域的面积等于(  )

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

解析 B 由f(y)≤f(x)≤0可得fy≤fx,fx≤0,即1≤x≤3,x-yx+y-4≥0,

画出其表示的平面区域如图所示,可得面积S=2×12×2×1=2,故选B.

12.设x,y 满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为(  )

A.256 B.83

C.113 D.4

解析 A 作出可行域(四边形OBAC围成的区域,包括边界)如图,作出直线l:ax +by=0,当直线l经过点A时,z=ax+by取得最大值.

解x-y+2=0,3x-y-6=0,得点A(4,6),∴4a+6b=12,即a3+b2=1,

∴2a+3b=2a+3ba3+b2=23+32+ab+ba≥23+32+2=256,当且仅当a =b时取等号.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知等差数列{an}中,有a11+a12+…+a2010=a1+a2+…+a3030,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:___ _____.

解析 由等比数列的性质可知,b1b30=b2b29=…=b11b20,∴10b11b12…b20=30b1b2…b30 .

【答案】 10b11b12…b20=30b1b2…b30

14.已知实数x,y满足约束条件x-y+4≥0,x+y≥0,x≤3,则z=4x2-y的最小值为________.

解析 作出不等式组所表示的可行域(图略),z=4x2-y=22x•2y=22x+y,令ω=2x+y,可求得ω=2x+y的最小值是-2,所以z=4x2-y的最小值为2-2=14.

【答案】 14

15.某公司租地建仓库,每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,这项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那 么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ km处.

解析 设仓库建在离车站d km处,

由已知y1=2=k110,得k1=20,∴y1=20d. 由y2=8=10k2,得k2=45,∴y2=45d.

∴y1+y2=20d+4d5≥220d•4d5=8,当且仅当20d=4d5,即d=5时,费用之和最小.

【答案】 5

16.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足________.

解析 由余弦定理cos A=b2+c2-a22bc<0,所以b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.

【答案】 a2>b2+c2

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知表中的对数值有且只有两个是错误的.

x 1.5 3 5 6

lg x 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c

x 7 8 9 14 27

lg x 2(a+c) 3(1-a-c) 2(2a-b) 1-a+2b 3(2a-b)

(1)假设上表中lg 3=2a-b与lg 5=a+c都是正确的,试判断lg 6=1+a-b-c是否正确?给出判断过程;

(2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明).

解析 (1)由lg 5=a+c得lg 2=1-a-c,

∴lg 6=lg 2+lg 3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c,

满足表中数值,即lg 6在假设下是正确的.

(2)lg 1.5与lg 7是错误的,

正确值应为lg 1.5=lg32=lg 3-lg 2=2a-b-1+a+c=3a-b+c-1.

lg 7=lg 14-lg 2=1-a+2b-1+a+c=2b+c.

18.(12分)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.

(1)解关于a的不等式f(1)>0;

(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a、b的值.

解析 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,

∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0

即a2-6a-3<0,解得3-23

∴不等式解集为{a|3-23

(2)f(x)>b的解集为(-1,3),

即方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,

∴2=a6-a3,-3=-6-b3, 解得a=3±3,b=-3.

19.(12分)(2011•南京模拟)已知数列{an}满足a 1=0,a2=1,当n∈N*时,an+2=an+1+an.求证:数列{an}的第4m+1(m∈N*)项能被3整除.

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