概要：得(3m2+4)y2+6my-9= 0，Δ=144(m2+1)>0，于是1y1+1y2=2m3.(*)∵L与y轴交于点M0，-1m，又由MA→=λ1AF→，∴x1，y1+1m=λ1(1-x1，-y1)，∴λ1=1-1my1.同理λ2=-1-1my2.从而λ1+λ2=-2-1m1y1+1y2=-2-23=-83.即λ1+λ2=-83.20.(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，-1)，B(0,1)，且GM→=λAB→(λ∈R).(1)求点C的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|=|AQ→ |，试求k的取值范围.解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.∵GM→=λAB→，(λ∈R)，&there4

得(3m2+4)y2+6my-9= 0，Δ=144(m2+1)>0，

于是1y1+1y2=2m3.(*)

∵L与y轴交于点M0，-1m，又由MA→=λ1AF→，

∴x1，y1+1m=λ1(1-x1，-y1)，

∴λ1=1-1my1.同理λ2=-1-1my2.

从而λ1+λ2=-2-1m1y1+1y2=-2-23=-83.

即λ1+λ2=-83.

20.(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，-1)，B(0,1)，且GM→=λAB→(λ∈R).

(1)求点C的轨迹方程;

(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|=|AQ→ |，试求k的取值范围.

解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.

∵GM→=λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.

∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.

又∵|MA→|=|MC→|，

∴ x32+(0+1)2= x3-x2+y2，

整理，得x23+y2=1，(x≠0)，即为曲线C的方程.

(2)①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|=|AQ→|.

②当k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，

联立方程组y=kx+m，x23+y2=1，消去y，

整理，得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.(*)

∵直线l和椭圆C交于不同两点，

∴Δ=(6km)2-4(1+3k2)×(m2-1)>0，

即1+3k2-m2>0.(**)

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，

于是有x1+x2=-6km1+3k2.

则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是

x0=x1+x22=-3km1+3k2，y0=kx0+m=m1+3k2，

即N-3km1+3k2，m1+3k2，

又∵|AP→|=|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，

∴k•kAN=k•m1+3k2+1-3km1+3k2=-1，∴m=1+3k22.

将m=1+3k22代入(**)式，得1+3k2-1+3k222>0(k≠0)，

即k2<1，得k∈(-1,0)∪(0,1).

综合①②得，k的取值范围是(-1,1).

21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，它的一条准线方程为x=2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB的大小.

解析：(1)由题意，知ca=22，a2c=2，

得a=2，c=1，故a2=2，b2=1，

故椭圆方程为x22+y2=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

设直线AB的方程为x=±63，或y=kx+b.

当直线AB的方程为x=63时，由x=63，x22+y2=1，

可求A63，63，B63，-63.

从而OA→•OB→=0，可得∠AOB=π2.

同理可知当直线AB的方程为x= -63时，和椭圆交得两点A、B.

可得∠AOB=π2.

当直线AB的方程为y=kx+b.

由原点到直线的距离为63，得b1+k2=63.

即1+k2=32b2.

又由y=kx+b，x22+y2=1，消去y，得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0.

得x1+x2=-4kb1+2k2，x1x2=2b2-21+2k2，

从而y1y2=(kx1+b)(kx2+b)

=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=b2-2k21+2k2.

OA→•OB→=x1x2+y1y2=2b2-21+2k2+b2-2k21+2k2

=3b2-2(1+k2)1+2k2，

将1+k2=32b2代入上式，得OA→•OB→=0，

∠AOB=90°.

22.(12分)已知动点P与双曲线x2-y23=1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1→|•|PF2→|的最大值为9.[来xkb1.com

(1)求动点P的轨迹E的方程;

(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，-2)满足AM→=λMB→，求实数λ的取值范围.

解析：(1)双曲线x2-y23=1的两焦点F1(-2,0)、F2(2,0).

设已知定值为2a，则|PF1→|+|PF2→|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆.

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).

∵|PF1→|•|PF2→|≤|PF1→|+|PF2→|22=a2，

当且仅当|PF1→|=|PF2→|时等号成立，

∴a2=9，b2=a2-c2=5，

∴动点P的轨迹E的方程是x29+y25=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM→=λMB→， 得

-x1=λx2，-2-y1=λ(y2+2)，

且M、A、B三点共线，设直线为l，

①当直线l的斜率存在时，设 l：y=kx-2，

由y=kx-2，x29+y25=1，得(5+9k2)x2-36kx-9=0，

Δ=(-36k)2-4(5+9k2)(-9)>0恒成立.

由韦达定理，得x1+x2=36k5+9k2，x1x2=-95+9k2.

将x1=-λx2代入，消去x2得(1-λ)2λ=144k25+9k2.

当k=0时，得λ=1;

当k≠0时，(1-λ)2λ=1445k2+9，由k2>0，得

0<(1-λ)2λ<16，得9-45<λ<9+45，且λ≠1.

②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时λ=-2-y12+y2=9±45.

综上所述，λ的取值范围是[9-45，9+45].

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