概要：2sinπ4-α+cosπ4+β=2sinπ4-α+cosπ4-π4-α=2sinπ4-α+cosα=2cosα-sinα=2×255+55=5.18.(12分)已知α、β为锐角，向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，c=12，-12.(1)若a•b=22，a•c=3-14，求角2β-α的值;(2)若a=b+c，求tanα的值.解析：(1)a•b=(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=22.①a•c=(cosα，sinα)•12，-12=12cos&al

高三数学三角函数、解三角形训练题,标签：高三数学课本|基础知识|教案,http://www.51jxk.com

2sinπ4-α+cosπ4+β=2sinπ4-α+cosπ4-π4-α=2sinπ4-α+cosα

=2cosα-sinα=2×255+55=5.

18.(12分)已知α、β为锐角，向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，c=12，-12.

(1)若a•b=22，a•c=3-14，求角2β-α的值;

(2)若a=b+c，求tanα的值.

解析：(1)a•b=(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)

=cosαcosβ+sinαsinβ

=cos(α-β)=22.①

a•c=(cosα，sinα)•12，-12

=12cosα-12sinα=3-14.②

又∵0<α<π2，0<β<π2，∴-π2<α-β<π2.

由①得α-β=±π4，由②得α=π6.

∵α、β为锐角，∴β=5π12.从而2β-α=23π.

(2)由a=b+c，可得cosβ=cosa-12，　　　　　　　③sinβ=sinα+12. ④

③2+④2，得cosα-sinα=12.

∴2sinαcosα=34.

又∵2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=34，

∴3tan2α-8tanα+3=0.

又∵α为锐角，∴tanα>0，

∴tanα=8±82-4×3×36=8±286=4±73.

19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，-π2<φ<π2一个周期的图像如图所示.

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)若f(α)+fα-π3=2425，且α为△ABC的一个内角，

求sinα+cosα的值.

解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A=1，

函数f(x)的周期为T= 4×π12+π6=π.

而T=2πω，则ω=2.

又x=-π6时，y=0，∴sin2×-π6+φ=0.

而-π2<φ<π2，则φ=π3.

∴函数f(x)的表达式为f(x)=sin2x+π3.

(2)由f(α)+fα-π3=2425，得

sin2α+π3+sin2α-π3=2425，化简，得sin2α=2425.

∴(sinα+cosα)2=1+sin2α=4925.

由于0 <α<π，则0<2α<2π，

但sin2α=2425>0，则0<2α<π，即α为锐角，

从而sinα+cosα>0，因此sinα+cosα=75.

20.(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB.

(1)求cosB的值.

(2)若BA→•BC→=2，b=22，求a 和c.

解析：(1)△ABC中，∵bcosC=3acosB-ccosB，

由正弦定理，得sinB•cosC=3sinAcosB-sinCco sB，

∴sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，

∴sin(B+C)=sinA=3sinAcosB.

∵sinA≠0，∴cosB=13.

(2)∵BA→•BC→=ac•cosB= 13ac=2，∴ac=6.

∵b2=8=a2+c2-2accosB=a2+c2-4，

∴a2+c2=12，∴a2-2ac+c2=0，

即(a-c)2=0，∴a=c=6.

21.(12分)已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB.

(1)求角C;

(2)试求△ABC面积S的最大值.

解析：(1)由2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB，

两边同乘以2R，得

(2RsinA)2-(2RsinC)2=(2a-b)2RsinB，

根据正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

∴a2-c2=(2a-b)b，即a2+b2-c2=2ab.

再由余弦定理，得cosC=a2+b2-c22ab=22，

又0

(2)∵C=π4，∴A+B=3π4.

S=12absinC=24(2RsinA)(2RsinB)=2R2sinAsinB

=2R2sinAsin34π-A=22R2sin2A-π4+12R2，

∴当2A-π4=π2，即A=38π时，

S有最大值12+22R2.

22.(12分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道.赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°.

(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离;

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长?

解析：方法一：

(1)依题意，

故NP+MN=1033sinθ+1033sin(60°-θ)

=103312sinθ+32cosθ

=1033sin(θ+60°).

∵0°<θ<60°，∴当θ=30°时，折线段赛道MNP最长.

即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长.

方法二：(1)同方法一;

(2)在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理，得

MN2+NP2-2MN•NP•cos∠MNP=MP2，

即MN2+NP2+MN•NP=25.

故(MN+NP)2-25=MN•NP≤MN+NP22，

从而34(MN+NP)2≤25，即MN+NP≤1033，

当且仅当MN=NP时等号成立.

即设计为MN=NP时，折线段赛道MNP最长.

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