教学活动

设计意图

一、创设情境，引入新课

1．复习提问

①函数的概念

②y=f(x)中各变量的意义

2．同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=（其中速度v是常量），在S=vt　中位移S是时间t的函数；在t= 中，时间t是位移S的函数．在这种情况下，我们说t= 是函数S=vt的反函数．什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容．

3．板书课题

1．问题组一：

（用投影给出函数 与 ； 与 （ ）的图象）

（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答： 与的图像关于直线y=x对称； 与 （ ）的图象也关于直线y=x对称． 是求一个数立方的运算，而 是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算．同样， 与 （ ）也互为逆运算．）

（2）由 ，已知y能否求x？

（3） 是否是一个函数？它与 有何关系？

（4） 与 有何联系？

2．问题组二：

（1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？

（2）函数 (x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？

（3）函数  （ ）的定义域与函数 （）的值域有什么关系？

3．渗透反函数的概念．

（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点）

从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培养学生抽象、概括的能力．

通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“最近发展区”设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础．

1．（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）

函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为 C．我们根据这个函数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = j (y) ．如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数．这样的函数 x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: ．考虑到“用 x表示自变量, y表示函数”的习惯，将 中的x与y对调写成 ．

2．引导分析

1）反函数也是函数；

2）对应法则为互逆运算；

3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数；

4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数 x=f (y)的值域、定义域；

5）函数y=f(x)与x=f (y)互为反函数；

6）要理解好符号f

7）交换变量x、y的原因．

3．两次转换x、y的对应关系

 （原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的．）   

   4．函数与其反函数的关系

四、应用解题，总结步骤

1．（投影例题）

【例1】求下列函数的反函数

（1）y=3x-1       (2)y=x +1

【例2】求函数 的反函数．

（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤．）

2．总结求函数反函数的步骤

1° 由y=f(x)反解出x=f (y)．

2° 把x=f (y)中 x与y互换得 .

3° 写出反函数 的定义域.

（简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）

【例3】（1） 有没有反函数?（2）的反函数是________．（3） (x<0)的反函数是__________．

    在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数．在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握．    通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解．通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．  

题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进．并体现了对定义的反思理解．学生思考练习，师生共同分析纠正．

五、巩固强化，评价反馈

1．已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f ( x)（1）y=-2x+3(xR)      （2）y=- (x R,且x )        ( 3 ) y= (xR,且x )

2．已知函数f(x)= (x R,且x )存在反函数 ，求f (7)的值．五、反思小结，再度设疑　　本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤．互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节研究．